Jenifer Huaman Murrugarra
Nos permite calcular:
1. Punto silla o inflexión:
Se define un punto silla o inflexión como el punto en que la función pasa de ser convexa a cóncava o viceversa. 1. Punto silla o inflexión:
Para calcular los puntos críticos de las inflexiones se debe resolver:
f ||(x) = 0
Ejemplo:
E1) Calcular los puntos de inflexión:
f (x)=x4-x3
Solución:
. Realizamos la primera derivada
f |(x)= (x4)|-(x3)|
f |(x)=4x3 - 3x2
. Luego, realizar la segunda derivada:
f ||(x)= (4x3)|-( 3x2)|
f ||(x)= 12x2-6x
. Después a f ||(x) igualamos a 0
f ||(x)= 12x2- 6x= 0
6x (2x-1) = 0
. Los puntos de inflexión son:
X0 = 0 ^ X1 = ½
I1. Concavidad de una función:
. Cóncava hacia arriba:
. Cóncava hacia abajo
f ||(x)< 0
I1I . Intervalos de concavidad:
Para determinar los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba, debemos resolver la inecuación:
f ||(x)> 0
El complemento de la solución me da los intervalos donde la función es cóncava hacia abajo.
IV. Máximos y mínimos:
Para determinas si una función es máxima y/o mínima debemos evaluar los puntos críticos en la segunda derivada, es decir:
. Si f |(x)= 0 y f ||(x) < 0 entonces se dice que f tiene un máximo.
. Si f |(x)= 0 y f ||(x)> 0 entonces se dice que f tiene un mínimo.
Recuerda:
El criterio de la segunda derivada nos permite calcular los puntos de inflexión, los intervalos de concavidad, además podemos usarlo para determinar máximos y mínimos; el procedimiento es el siguiente:
1. Calcule f ||(x)
2. Calcule los puntos de las inflexiones f ||(x)= 0
3. Calcule los intervalos de concavidad f ||(x)> 0
4. Para determinas si una función es máxima y/o mínima debemos evaluar los puntos críticos en la segunda derivada.
Ejemplo:
Calcular máximos y/o mínimos, intervalos de concavidad y puntos de inflexión
E1) h(x)=x3- 5x2 + 7x
Solución:
h(x)|=3x2-10x+7 -> puntos críticos: x0= 1 ^ x1 =7/3
h(x)||= 6x-10 -> punto de inflexión: x0=5/
Intervalos de concavidad:
Una forma es por inecuación:
h(x)||> 0 -> 6x-10 > 0 -> x >5/3
Otra forma más rápida de saber los intervalos de concavidad es dando valores, es decir:
Los valores se deben reemplazar en la segunda deriva:
- h(x)||= 6x-10 -> x=0 -> h( 0)||= 6(0) -10 = -10 ; si sale negativo, se dice que la función es cóncava hacia abajo
- h(x)||= 6x-10 -> x=2 -> h( 2)||= 6(2) -10=2 ; si sale positivo, se dice que la función es cóncava hacia arriba.
Calcular máximo y mínimo:
h(1)||= 6(1)-10 =-4 -> es máximo
h(7/3)||= 6(7/3)-10 =4 -> es mínimo
Respuesta:
La función tiene máximo relativo en X = 1, dicho valor es h(1) = 3 .
Mínimo relatico es x= 7/3, dicho valor es h(7/3) = 49/27
Es cóncava hacia arriba en (5/3 ; +oo) y es cóncava hacia abajo (-00; 5/3)
Punto de inflexión es x= 5/3, dicho valor es h(5/3)= 65/27
Bibliografía:
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