GRÁFICA DE FUNCIONES: diciembre 2018

lunes, 3 de diciembre de 2018

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Emilyn Mora Casas

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

I. PUNTO CRÍTICOS:

Es aquel punto del dominio donde la función:

1. Alcanza un extremo (máximo o mínimo) ó

2. Alcanza un punto de silla

(inflexiones)

3. La derivada no está definida

Sea f: R -> R una función real

Si f`(Xo)=0 -> Xo es un punto crítico .

Este resultado nos permitirá obtener los primeros puntos críticos de nuestra función. Para ello basta resolver la siguiente ecuación: f’’(X)=0

II. FUNCIONES CRECIENTES:

Sea f: R-> R una función real. Diremos que f es creciente alrededor de Xo, si se cumple:

I. Si x < xo, entonces

f(x) < f(xo)

II. Si x > xo, entonces

f(x) > f(xo)

donde f’(x) > 0

III. FUNCIONES DECRECIENTES:

Sea f: R-> R una función real. Diremos que f es creciente alrededor de Xo, si se cumple:

I. Si x < xo, entonces

f(x) < f(xo)

II. Si x > xo, entonces

f(x) > f(xo)

donde f’(x) > 0

IV.INTERVALOS DE CRECIMIENTO:

Los intervalos donde la función crece, se calculan resolviendo la inecuación:

f ‘ (x) > 0

El complemento de esta solución me da los intervalos donde la función decrece.

f ‘ (x) < 0

V. CRITERIO DE LA 1º DERIVADA

Este criterio nos permitirá determinar: los puntos críticos, los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos. El procedimiento a los pasos a seguir es:

1.- Calcule la derivada de la función f ’(x)

2.- Calcule los puntos críticos de la función f’ (x) = 0

3.- Calcule los intervalos de crecimiento o decrecimiento f’ (x) > 0

4.- Determine los máximos y mínimos, si antes del punto la función crece y después del punto decrece entonces alcanza un máximo, si antes del punto la función decrece y después del punto crece entonces alcanza un mínimo.

Bibliografía:

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Jenifer Huaman Murrugarra

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Nos permite calcular:

1. Punto silla o inflexión:

Se define un punto silla o inflexión como el punto en que la función pasa de ser convexa a cóncava o viceversa.

Para calcular los puntos críticos de las inflexiones se debe resolver:

f^||(x) = 0

Ejemplo:

E1) Calcular los puntos de inflexión:

f(x)=x⁴-x³

Solución:

. Realizamos la primera derivada

f^|(x)= (x⁴)^|-(x³)^|

f^|(x)=4x³- 3x²

. Luego, realizar la segunda derivada:

f^||(x)= (4x³)^|-( 3x²)^|

f^||(x)= 12x²-6x

. Después a f ^||(x) igualamos a 0

f^||(x)= 12x²- 6x= 0

6x (2x-1) = 0

. Los puntos de inflexión son:

X₀ = 0 _^X₁= ½

I1. Concavidad de una función:

. Cóncava hacia arriba:

f^||(x) > 0

. Cóncava hacia abajo

f^||(x)< 0

I1I . Intervalos de concavidad:

Para determinar los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba, debemos resolver la inecuación:

f^||(x)> 0

El complemento de la solución me da los intervalos donde la función es cóncava hacia abajo.

IV. Máximos y mínimos:

Para determinas si una función es máxima y/o mínima debemos evaluar los puntos críticos en la segunda derivada, es decir:

. Si f^|(x)= 0 y f^||(x) < 0 entonces se dice que f tiene un máximo.

. Si f^|(x)= 0 y f^||(x)> 0 entonces se dice que f tiene un mínimo.

Recuerda:

El criterio de la segunda derivada nos permite calcular los puntos de inflexión, los intervalos de concavidad, además podemos usarlo para determinar máximos y mínimos; el procedimiento es el siguiente:

1. Calcule f^||(x)

2. Calcule los puntos de las inflexiones f^||(x)= 0

3. Calcule los intervalos de concavidad f^||(x)> 0

4. Para determinas si una función es máxima y/o mínima debemos evaluar los puntos críticos en la segunda derivada.

Ejemplo:

Calcular máximos y/o mínimos, intervalos de concavidad y puntos de inflexión

E1) h(x)=x³- 5x² + 7x

Solución:

h(x)^|=3x²-10x+7 -> puntos críticos: x₀= 1 _^ x₁=7/3

h(x)^||= 6x-10 -> punto de inflexión: x₀=5/

Intervalos de concavidad:

Una forma es por inecuación:

h(x)^||> 0 -> 6x-10 > 0 -> x >5/3

Otra forma más rápida de saber los intervalos de concavidad es dando valores, es decir:

Los valores se deben reemplazar en la segunda deriva:

h(x)^||= 6x-10 -> x=0 -> h( 0)^||= 6(0) -10 = -10 ; si sale negativo, se dice que la función es cóncava hacia abajo

h(x)^||= 6x-10 -> x=2 -> h( 2)^||= 6(2) -10=2 ; si sale positivo, se dice que la función es cóncava hacia arriba.

Calcular máximo y mínimo:

h(1)^||= 6(1)-10 =-4 -> es máximo

h(7/3)^||= 6(7/3)-10 =4 -> es mínimo

Respuesta:

La función tiene máximo relativo en X = 1, dicho valor es h(1) = 3^.

Mínimo relatico es x= 7/3, dicho valor es h(7/3) = 49/27

Es cóncava hacia arriba en (5/3 ; +oo) y es cóncava hacia abajo (-00; 5/3)

Punto de inflexión es x= 5/3, dicho valor es h(5/3)= 65/27

Bibliografía:

GRÁFICA DE FUNCIONES

Alison Villacriz Cardenas

GRÁFICA DE FUNCIONES

Aplicación de la derivada al análisis de funciones. Con el concepto de derivada se pueden estudiar algunas propiedades de carácter local de las funciones, el estudio de estas características nos facilitará la representación gráfica de las mismas.

Para graficar una función podemos utilizar los criterios de las primera y segunda derivada teniendo en cuenta lo siguiente:

1. Considere en un cuadro de tabulación todos los puntos críticos de las primera y segunda derivada con sus respectivas imágenes.

2. Ubicar todos los puntos en una recta y colocar su respectivo signo, tanto en la primera y segunda derivada.

3. Finalmente, ubica los puntos de la tabulación en el plano cartesiano y traza la curva por tramos de acuerdo al siguiente criterio: